Для того, чтобы авторизироваться на сайте Вам необходимо после нажатии на кнопку указать телефонный номер, к которому привязан аккаунт. Он должен состоять в закрытом сообществе. Данные с телеграмма будут использоваться только для авторизации, на сервере сохраняется ваш user id и user name.
Далее в телеграмм мессенджере нужно подтвердить заход на сайт и вернуться сюда.
Сессию закрывать не нужно, тогда в след. раз не нужно будет проходить авторизацию заново.